Équations et inéquations : 1er/2nd degré, systèmes, valeur absolue

Une équation du premier degré $ax+b=0$ ($a \neq 0$) a toujours une solution unique $x = -b/a$. Une inéquation se résout de la même façon, à un détail près qui change tout : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Pour le second degré $ax^2+bx+c=0$, le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ indique le nombre de solutions réelles : deux si $\Delta>0$, une (double) si $\Delta=0$, aucune si $\Delta<0$. Les solutions, quand elles existent, sont $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Pour une inéquation du second degré, le signe du trinôme entre les racines (s'il y en a) est opposé au signe de $a$, et à l'extérieur des racines il est celui de $a$.

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues se résout par substitution (isoler une variable dans une équation et remplacer dans l'autre) ou par combinaison (additionner/soustraire des multiples des équations pour éliminer une variable). Les deux méthodes donnent le même résultat ; le choix est une question d'efficacité selon les coefficients.

La valeur absolue $|x|$ représente une distance à zéro : $|x|=a$ ($a>0$) équivaut à $x=a$ OU $x=-a$. Pour une inéquation, $|x|<a$ équivaut à $-a<x<a$, tandis que $|x|>a$ équivaut à $x<-a$ OU $x>a$ — ne jamais confondre ces deux structures.

Illustration : tableau de signes pour une inéquation rationnelle

Calcul : résoudre une inéquation rationnelle

Méthode en 3 étapes : (1) tout ramener d'un côté pour comparer à 0 ; (2) repérer les valeurs critiques (racines du numérateur et du dénominateur) ; (3) tester le signe de l'expression sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.

Exemple : résoudre $\dfrac{x-2}{x+1} \geq 0$. Valeurs critiques : $x=2$ (numérateur nul) et $x=-1$ (dénominateur nul, valeur interdite). Test sur chaque intervalle : pour $x=-2$ (< −1) : $\dfrac{-4}{-1}=4>0$ ; pour $x=0$ (entre −1 et 2) : $\dfrac{-2}{1}=-2<0$ ; pour $x=3$ (> 2) : $\dfrac{1}{4}>0$. La solution est donc $x \in (-\infty,-1) \cup [2,+\infty)$ — noter que $x=-1$ reste exclu même si l'inégalité est large, car il rend l'expression indéfinie, alors que $x=2$ est inclus car il annule seulement le numérateur.

Piège classique à l'IMAT : dans une inéquation du type $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \geq k$, il ne faut jamais multiplier directement par $Q(x)$ sans connaître son signe — le sens de l'inégalité s'inverse si $Q(x)<0$. Il vaut mieux toujours ramener à une comparaison avec 0 d'abord. Même logique pour une inéquation du second degré comme $x^2-5x+6<0$ : les racines $2$ et $3$ découpent la droite en 3 intervalles, et comme la parabole s'ouvre vers le haut, l'expression est négative uniquement entre ses racines — solution $x \in (2,3)$.

• Discriminant et nombre de racines réelles
• Signe d'un trinôme du second degré
• Substitution vs combinaison pour un système
• $|x|<a$ (intervalle) vs $|x|>a$ (union de deux demi-droites)

• $\Delta = b^2-4ac$
• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Somme des racines : $-b/a$ — Produit des racines : $c/a$
• $|x|<a$ ($a>0$) $\iff$ $-a<x<a$

Le discriminant "annonce" avant tout calcul combien de fois la parabole $y=ax^2+bx+c$ croise l'axe des x : deux fois, une fois (tangente), ou jamais. Visualiser la parabole évite beaucoup d'erreurs de signe sur les inéquations du second degré.

Oublier d'inverser le sens d'une inéquation en divisant par un nombre négatif est l'erreur numéro un. Pour le second degré, une erreur fréquente est de croire que le trinôme est toujours positif entre les racines — c'est l'inverse quand $a<0$. Pour la valeur absolue, mélanger la forme "intervalle" et la forme "union" est très courant sous pression de temps.